已知a为实数，函数f（x）=x2-|x2-ax-2|在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A.[1，8]B.[3，8]C.[1，3]D.[-1，8]

Question

已知a为实数，函数f（x）=x²-|x²-ax-2|在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（　　）

A. [1，8]

B. [3，8]

C. [1，3]

D. [-1，8]

Answer 1

令函数g（x）=x²-ax-2，由于g（x）的判别式△=a²+8>0，故函数g（x）一定有两个零点，
设为x₁ 和x₂，且 x₁2．
∵函数f（x）=x²-|x²-ax-2|=

ax+2，x<x1或x>x2

2x2-ax-2，x1≤x≤x2

，
故当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，
函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，
当x∈（x₁，x₂ ）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x²-ax-2下凹的一部分，且各段连在一起．
由于f（x）在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，
∴a>0且函数g（x）较小的零点x₁=(a-√(a2+8))/(2)≥-1，
即a+2≥√(a2+8)，
平方得a²+4a+4≥a²+8，得a≥1，
同时由y=2x²-ax-2的对称轴为x=(a)/(4)，
若且-1≤(a)/(4)≤2，可得-4≤a≤8．
综上可得，1≤a≤8，
故实a的取值范围为[1，8]，
故选：A．