已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．

Question

已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．
（1）证明：A=2B；
（2）若a²+c²=b²+2acsinC，求A．

Answer 1

（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，
由(a)/(sinA)=(b)/(sinB)，得sinA=2sinBcosB=sin2B，
∵0<A，B<π，
∴sinA=sin2B>0，
∴0<2B<π，
∴A=2B或A+2B=π，
若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，
∴A+2B≠π；
∴A=2B；
（2）∵a²+c²=b²+2acsinC，
∴(a2+c2-b2)/(2ac)=sinC，
由余弦定理得cosB=sinC，
∵0<B，C<π，
∴C=(π)/(2)-B或C=(π)/(2)+B，
①当C=(π)/(2)-B时，则A=(π)/(2)，B=C=(π)/(4)，
这与“b≠c”矛盾，∴A≠(π)/(2)；
②当C=(π)/(2)+B时，由（1）得A=2B，
∴A+B+C=A+2B+(π)/(2)=2A+(π)/(2)=π，
∴A=(π)/(4)．