设A，B是n阶可逆阵，试证：（1）（AT）*=（A*）T；（2）（AB）*=B*A*．

Question

设A，B是n阶可逆阵，试证：
（1）（A^T）^*=（A^*）^T；
（2）（AB）^*=B^*A^*．

Answer 1

证明：
（1）等号左边（A^T）^*=|A^T|（A^T）^-1=|A|（A^-1）^T，
等号右边（A^*）^T=（|A|A^-1）^T=|A|（A^-1）^T=等号左边，
所以，（A^T）^*=（A^*）^T．
（2）（AB）^*=|AB|（AB）^-1=|A||B|B^-1A^-1=|B|B^-1|A|A^-1=B^*A^*．