已知对于任意的x∈（-∞，1）∪（5，+∞），都有x2-2（a-2）x+a>0，则实数a的取值范围是．

Question

已知对于任意的x∈（-∞，1）∪（5，+∞），都有x²-2（a-2）x+a>0，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

△=4（a-2）²-4a=4a²-20a+16=4（a-1）（a-4）．
（1）若△<0，即12-2（a-2）x+a>0在R上恒成立，符合题意；
（2）若△=0，即a=1或a=4时，方程x²-2（a-2）x+a>0的解为x≠a-2，
显然当a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意；
（3）当△>0，即a<1或a>4时，∵x²-2（a-2）x+a>0在（-∞，1）∪（5，+∞）恒成立，
∴

1-2(a-2)+a≥0

25-10(a-2)+a≥0

1<a-2<5

，解得3<a≤5，
又a<1或a>4，∴4<a≤5．
综上，a的范围是（1，5]．
故答案为（1，5]．