有12枚硬币,其中有一颗是假币,和一架无砝码和刻度的天平,称3次,找出假币并且算出比真币重还?C不知道真币重还是假币重刚才那位错了最好说得简单点我才初二

Question

有12枚硬币,其中有一颗是假币,和一架无砝码和刻度的天平,称3次,找出假币并且算出比真币重还?C
不知道真币重还是假币重刚才那位错了最好说得简单点我才初二

Answer 1

称球问题——经典智力题推而广之三
异调
说明
这篇文章试图给出称球问题的一个一般
的和严格的解答.正因为需要做到一般和严
格,就要考虑许多平时遇不到的特别情形,
所以叙述比较繁琐.如果对读者对严格的证
明没有兴趣,可以只阅读介绍问题和约定记
号的第一、第二节,以及第三节末尾27个球
的例子,和第五节13个球和40个球的解法.
事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子
里了.
一、问题
称球问题的经典形式是这样的：
“有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十
一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别.现在有一架没有砝码的
很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准
球重还是轻.”
这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了.它的一种解法如
下：
将十二个球编号为1-12.
第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边.
1.如果右重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球轻；如果是5号,则它比标准球重.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；
3.这次不可能左重.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重.
2.如果天平平衡,则坏球在9-12号.
第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边.
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重.
2.如果平衡则坏球为12号.
第三次将1号放在左边,12号放在右边.
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重.
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球重；如果是5号,则它比标准球轻.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.这次不可能右重.
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；
够麻烦的吧.其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的
右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照执行.我
把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家.
稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的.如
果给的是十三个球,以上的解法也基本有效,只是要有个小小的改动,
就是在这种情况下,在第一第二次都平衡的时候,第三次还是有可能
平衡（就是上面的第2.2.2步）,那么我们可以肯定坏球是13号球,可
是我们没法知道它到底是比标准球轻,还是比标准球重.如果给的是
十四个球,我们会发现无论如何也不可能只称三次,就保证找出坏球.
一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N,我们怎么来解有
N个球的称球问题?
在下面的讨论中,给定任一自然数N,我们要解决以下问题：
⑴找出N球称球问题所需的最小次数,并证明以上所给的最小次数的确
是最小的；
⑵给出最小次数称球的具体方法；
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重,对N球称球问题解决
以上两个问题；
还有一个我们并不是那么感兴趣,但是作为副产品的问题是：
⑷如果除了所给的N个球外,另外还给一标准球,解决以上三个问题.
二、记号
我们先不忙着马上着手解决上述问题.先得给出几个定义,尤其
是,要给出比较简单的符号和记法.大家看到上面给出的解法写起来
实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个
球的问题!
仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法.在还没有开始称第一
次时,我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻,或较重的
坏球,所以以下24种情况都是可能的：
1. 1号是坏球,且较重；
2. 2号是坏球,且较重；
……
12. 12号是坏球,且较重；
13. 1号是坏球,且较轻；
14. 2号是坏球,且较轻；
……
24. 12号是坏球,且较轻.
没有其他的可能性,比如说“1、2号都是坏球,且都较重”之类.当
我们按上面解法“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”称过第一次
以后,假设结果是右重,稍微分析一下,就会知道上面的24种情况中,
现在只有8种是可能的,就是
1. 1号是坏球,且较轻；
2. 2号是坏球,且较轻；
3. 3号是坏球,且较轻；
4. 4号是坏球,且较轻；
5. 5号是坏球,且较重；
6. 6号是坏球,且较重；
7. 7号是坏球,且较重；
8. 8号是坏球,且较重.
我们把诸如“1号是坏球,且较重,其他球都正常”和“2号是坏球,
且较轻,其他球都正常”这样的情况,称为一种“布局”,并记为：
(1重) 和 (2轻)
我们把“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”这样的步骤,称为一
次“称量”.我们把上面这次称量记为
(1,2,3,4; 5,6,7,8)
或
(1-4; 5-8)
也就是在括号内写出参加称量的球的号码,并且以分号分开放在左边
和放在右边的球号.在最一开始,我们有24种可能的布局,而在经过
一次称量(1-4; 5-8)后,如果结果是右重,我们就剩下上述8种可能
的布局.我们的目的,就是要使用尽量少的称量,而获得唯一一种可
能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球,它是比较重还是比较轻.
这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量.因为坏
球和标准球重量之间的差别很小,小于标准球的重量,所以当天平两
边球数不一样时,天平一定向球比较多的那边倾斜.所以在进行这样
一次称量之前,它的的结果就可以被预料到,它不能给我们带来任何
新的信息.事实上在看完本文以后大家就很容易明白,即使坏球和标
准球重量之间的差别很大,也不会影响本文的结论.因为考虑这种情
况会使问题变麻烦,而并不能带来有趣的结果,我们就省略对此的考
虑.
现在我们看到,上面关于十二个球问题的解法,其实就是由一系
列称量组成的——可不是随随便便的组合,而是以这样的形式构成的：
称量1
如果右重,则
称量3
……
如果平衡,则
称量2
……
如果左重,则
称量4
……
省略号部分则又是差不多的“如果右重,则……”等等.所以这就提
示我们用树的形式来表示上面的解法：树的根是第一次称量,它有三
个分支（即三棵子树,于是根有三个子节点）,分别对应着在这个称
量下的右重、平衡、左重三种情况.在根的三个子节点上,又分别有
相应的称量,和它们的三个分支……如果具体地写出来,就是
|--右--( 1轻)
|--右--(1 ; 2)|--平--( 5重)
| |--左--( )
|
| |--右--( 2轻)
|--右--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4轻)
| 5,9-11)| |--左--( 3轻)
| |
| | |--右--( 7重)
| |--左--(6 ; 7)|--平--( 8重)
| |--左--( 6重)
|
| |--右--(10重)
| |--右--(9 ;10)|--平--(11重)
| | |--左--( 9重)
| |
| | |--右--(12重)
(1-4;5-8)|--平--(1-3; |--平--(1 ;12)|--平--(13轻, 13重)*
| 9-11)| |--左--(12轻)
| |
| | |--右--( 9轻)
| |--左--(9 ;10)|--平--(11轻)
| |--左--(10轻)
|
| |--右--( 6轻)
| |--右--(6 ; 7)|--平--( 8轻)
| | |--左--( 7轻)
| |
| | |--右--( 3重)
|--左--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4重)
5,9-11)| |--左--( 2重)
|
| |--右--( )
|--左--(1 ; 2)|--平--( 5轻)
|--左--( 1重)
（*：对应十三个球的情形.）
这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平
衡”和“左重”所对应的分支.在树的叶子（就是最右边没有子节点
的那些节点）部分,我们标出了“能够到达”这些节点的布局,也就
是说在进行每一节点上的称量时,这个布局所给的结果和通往相对应
的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合.从这个图
我们也可以清楚地看到,根下的左分支和右分支是对称的：只需要把
所有的“右”改成“左”,“左”改成“右”,“轻”改成“重”,
“重”改成“轻”；节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个
特点.
（如果有朋友对树理论感兴趣,可以参考随便哪一本图论或者离
散数学的书.在这里我们只用到树理论里最基本的知识,所用的名词
和结论都是相当直观的.所以如果你不知道树理论,用不着特别去学
也可以看懂这里的论证.）
所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个
子节点的树）,在每个不是叶子的节点上给定一个称量,并且规定这
个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况,我
们就得到了一种称球的方法.我们把这样一棵三分树称为一个“策略”
或一棵“策略树”.你可以给出一个平凡的策略,比如说无论发生了
什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出
相应的布局,用@来代替）：
|--右--@A
|--右--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@B
| |--右--(1; 2)|--平--@
| | |--左--@
| |
| | |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--@
|--左--@
当然这么个策略没什么用场,只能让我们知道1号球和2号球之间的轻
重关系.另外我们看到,每个分支不一定一样长,上面这棵策略树根
下面左分支就比较长.
一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一.比如说上
面这个图中,叶子A和根间有1个节点,而叶子B和根间有2个节点,没
有和根之间的节点数超过2的叶子.所以它的高度是2+1=3.前面十二
球解法策略树的高度也是3.一棵没有任何分支,只有根节点的树,我
们定义它的高度是0.
显然,策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数.我
们的目的,就是找到一棵“好”的策略树,使得它的高度最小.
什么是“好”策略?我们回过头来再看十二球解法策略树.我们
说过,叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的.比如说布局(7重),
它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略,三次称量的结果是“右
左右”；又比如说布局(11重),它之所以在那片叶子上是因为按照这
个策略,三次称量的结果是“平右平”.如果两个布局通向同一片叶
子,那么就是说按照这个策略,三次称量的结果是完全一样的,于是
我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来.比如说在十三个
球的情况下,(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子,这
两个布局中13号球或者轻或者重,于是我们知道13号球一定是坏球,
但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重.
所以对于标准的称球问题（找出坏球并知其比标准球重或轻）的
“好”策略,就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略.
三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况
先引入一个记号：对于任意实数a,我们用{a}表示大于等于a的最
小整数,比如说{2.5}=3,{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整
数,比如说[2.5]=2,[4]=4.
我们首先考虑这样一种布局的集合.假设m,n为两个非负实数,
不同时为0.在编号从1到m+n的m+n个球中,我们知道1到m号球要么是
标准球,要么比标准球重,而m+1到m+n号球要么是标准球,要么比标
准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）.换句话说,
我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：
1. 1号是坏球,且较重；
2. 2号是坏球,且较重；
……
m. m号是坏球,且较重；
m+1. m+1号是坏球,且较轻；
m+2. m+2号是坏球,且较轻；
……
m+n. m+n号是坏球,且较轻.
有一种特殊的情况是m=0或n=0,也就是说坏球的是轻还是重已经知,常
常被用来单独作为智力题.
结论1：
1)在以上条件成立的情况下,要保证在m+n个球中找出坏球并知道
其轻重,至少需要称{log3(m+n)}次.
2)如果m和n不同时为1,那么称{log3(m+n)}次就足够了.如果
m=n=1,并且另有一标准球,那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1
次也足够了.
这里log3表示以3为底的对数.
需要对2)作点说明.如果m=n=1而没有标准球的话,那么是永远也
称不出坏球来的.把两个球一边一个放在天平上,必然是1号重2号轻.
但是由于没有标准球,我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的,还
是坏球比较轻所以2号是坏的.如果有标准球,只要把1号球和标准球
比较一下.如果天平不平衡,那么1号球是坏球,且比较重；如果天平
平衡,那么2号球是坏球,且比较轻.策略树如下：（用s表示标准球）
|--右--( )
|
|
(1; s)|--平--(2轻)
|
|
|--左--(1重)
现在来证明1).在上面我们看到,可能的布局是m+n种（1重,2重,
……,m重,m+1轻,m+2轻,……,m+n轻）.假设我们已经有一个策
略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重,那么每一个布局都要
通向策略树上的不同叶子,这棵策略树至少需要有m+n片叶子.但是一
棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子.于是这棵策略树必须满足条
件
3H ≥ m+n
也就是
H ≥ log3(m+n)
考虑到H是整数,我们就证明了
H ≥ {log3(m+n)}
现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树,使得m+n
种布局通向它的不同叶子.我们对k=m+n使用数学归纳法.
首先k=1.那么称都不要称,因为必有一坏球,那么坏球就是唯一
的1号球.如果是m=1,n=0,那么1号球比较重；如果是m=0,n=1,那
么1号球比较轻.需要的称量次数为{log3(1)}=0.
对于k=2.m=1,n=1的情况已经讨论过了.考虑m=2,n=0.这时我
们知道坏球比较重.只要把1号球和2号球放在天平两边一称,哪个比较
重哪个就是坏球.策略树如下：
|--右--(2重)
|
|
(1; 2)|--平--( )
|
|
|--左--(1重)
m=0,n=2的情况完全类似.
假设对于m+n＜k的情况我们都可以用{log3(k)}次称出坏球.考虑
m+n=k的情况.我们把1到m号球称为第一组球,m+1到n号球称为第二组
球.
设H={log3(m+n)}＝{log3(k)}.那么我们有
3H-1 ＜ k ≤ 3H
3H-2 ＜ k/3 ≤ 3H-1
3H-2 ＜ {k/3} ≤ 3H-1
于是
{log3{k/3}}=H-1.
现在我们把这k个球分为三堆,第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,
并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数
目也一样）,第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）.举一个
例子,如果m=7,n=3,那么这三堆可以分成这样：（当然不是唯一的
分法）
第一堆：1,2,3,7 （属于第一组的3个,第二组的1个）
第二堆：4,5,6,8 （属于第一组的3个,第二组的1个）
第三堆：9,10
这样的分堆总是可能的吗?如果m或n是偶数,那就很简单.比如
说假设m是偶数,有两种可能性.如果m/2≥{k/3},那么就从第一组球
中各取{k/3}个球作为第一和第二堆（这时在第一第二堆中只有第一组
的球）；如果m/2＜{k/3},那么就把第一组球分为相同的m/2个球的两
堆,再分别用{k/3}-m/2个第二组球去把它们补充成{k/3}个球的两堆
（这时在第三堆中就只有第二组的球了）.很显然这样的分堆符合上
面的要求.
如果m和n都是奇数,事情就有点复杂.首先如果(m-1)/2≥{k/3}
的话,那么按上面的方法也很容易把球按要求分为三堆.但是如果
(m-1)/2＜{k/3},我们就必须先从第一组中各拿出(m-1)/2个球放入第
一和第二堆,再从第二组中各拿出{k/3}-(m-1)/2个球将它们补充到各
有{k/3}个球为止.这就需要从第二组中总共拿得出2({k/3}-(m-1)/2)
个球来.所以必须有
2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n
即
2{k/3} ≤ (m-1)+n
2{k/3} ≤ k-1
这个不等式在k=3或k＞4时总是成立的,但是对k=4就不成立.所以我
们要对k=4且m,n都是奇数的情况作特殊处理.我们只需考虑m=3,n=1
这种情况.把1号球和2号球放在天平两端,如果不平衡,那么较重的
那个是坏球；如果平衡,那么把1号球和3号球放在天平两端,平衡则
4号球为坏球且较轻,不平衡则3号球为坏球且较重.策略树如下：
|--右--(2重)
|
| |--右--(3重)
(1; 2)|--平--(1; 3)|--平--(4轻)
| |--左--( )
|
|--左--(1重)
m=1,n=3的情况完全类似.
于是现在我们就可以毫无障碍地假设,我们已经将m+n=k个球分为
这样的三堆：第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,并且这两堆中属于第
一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样）,第三堆
中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）.
我们把第一堆球和第二堆球分别放在天平的左右两端.如果平衡,
那就说明坏球在第三堆里,这样我们就把问题归结为一个k-2{k/3}个
球的问题；如果右边比较重,那么我们得到结论：要么是坏球比较轻,
并且它在第一堆中的第二组球,也就是可能较轻的那些球中,要么是
坏球比较重,并且它在第二堆中的第一组球,也就是可能较重的那些
球中,下面它就归结为一个{k/3}个球的问题了；如果是左边比较重,
那么我们也完全类似地将问题归结为一个{k/3}个球的问题.开始的策
略树如下：（小球的编号作了适当变化：假设1,2,……,s为第一堆
中的第一组球,1',2'……,s'为第二堆中的第一组球,(s+1),……
为第一堆中的第二组球,(s+1)'为为第二堆中的第二组球）
归结为坏球在
|--右--(1',2',……,s',s+1,……)中
| 的问题（{k/3}个球）
|
|
(1,2,……,s,s+1,……; |
1',2',……,s',(s+1)',……)|--平--归结为坏球在第三堆中的问题
| （k-2{k/3}个球）
|
| 归结为坏球在
|--左--(1,2,……,s,(s+1)',……)中
的问题（{k/3}个球）
考虑到k-2{k/3}≤{k/3},另外此次称量后我们至少可以得到一个标准
球（如果不平衡,第三堆里的球均为标准球,否则第一第二堆里的球
均为标准球）.根据归纳假设,上面得到“左”、“平”、“右”三
种情况归结后的问题都可以用{log3{k/3}}=H-1次的称法来解决.所
以加上这第一次称量,k个球只需{log3(k)}次称量就可以找出坏球.
在这节的最后我们给出一个具体的例子：如果有27个球,其中有
一个坏球,而且已知第一堆1-14号球如果其中一个是坏球,那么它比
标准球重,第二堆15-27号球如果其中一个是坏球,那么它比标准球轻.
根据结果1,我们知道只要[log3(27)]=3次就可以找出坏球.
按照上面的称法,首先将27个球分为三堆,第一第二堆的个数为
{27/3}=9个球,而且其中分别属于第一和第二组的球的个数相同.于
是我们可以取：
第一堆： 1-7,15-16
第二堆：8-14,17-18
第三堆：19-27
现在把第一和第二堆放在天平左右两端,如果平衡,我们就归结为在
19-27号9个球中其中有个较轻坏球的问题；如果右边重,我们就归结
为坏球在8-14,15-16中的问题；如果左边重,我们就归结为坏球在
1-7,17-18中的问题.这三种情况都是9个球的问题.
|--右--归结为坏球在8-14,15-16中的问题
|
|
(1-7,15-16; |
8-14,17-18|--平--归结为坏球在19-27中的问题
|
|
|
|--左--归结为坏球在1-7,17-18中的问题
三种情况中我们只具体做一种：坏球在1-7,17-18中的问题.同
样地我们将其分为三堆
第一堆：1-3
第二堆：4-6
第三堆：7,17-18
照上面类似地我们有策略树
|--右--归结为坏球在4-6中的问题
|
|
(1-3; 4-6)|--平--归结为坏球在7,17-18中的问题
|
|
|--左--归结为坏球在1-3中的问题
于是变成了3个球的问题,解决方法就很显然了,我们把上面的策略树
写完整：
|--右--( 5重)
|--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
| |--左--( 4重)
|
| |--右--(17轻)
(1-3; 4-6)|--平--(17;18)|--平--( 7重)
| |--左--(18轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
|--左--( 1重)
类似地我们写出坏球在8-14,15-16中的问题的策略树：
|--右--(12重)
|--右--(11;12)|--平--(13重)
| |--左--(11重)
|
| |--右--(15轻)
(8-10;11-13)|--平--(15;