如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为．

Question

如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为___．

Answer 1

如图，连接MN，延长AM、BC交于点G，MN与CD交于点H，作NK⊥BC于K．

∵四边形ABCD是正方形，DF=2．CF=3，
∴AD∥BG，AD=BC=CD=5，
∴(AD)/(CG)=(DF)/(FC)=(2)/(3)，
∴CG=(15)/(2)，
∵四边形ENCM是正方形，
∴NH=HM=CH=EH，MN⊥EC，设CH=x，
∴MH∥CG，
∴(HM)/(CG)=(FH)/(FC)，
∴(3-x)/(3)=(x)/((15)/(2))，
∴x=(15)/(7)，
在RT△BNK中，∵∠BKN=90°，NK=CH=(15)/(7)，BK=BC-CK=(20)/(7)，
∴BN=√(BK2+NK2)=√(((15)/(7))2+((20)/(7))2)=(25)/(7)．
故答案为(25)/(7)．