如图，已知∠MBN=60°，在BM，BN上分别截取BA=BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA

Question

如图，已知∠MBN=60°，在BM，BN上分别截取BA=BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，求证：∠PQC=90°．

Answer 1

（1） AP=CQ；理由如下：
连接PQ，如图所示：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB

∠ABP=∠CBQ

BP=BQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
（2）证明：设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
在△PBQ中，∵PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PQ=4a，
在△PQC中，∵PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²，
∴△PQC为直角三角形，即∠PQC=90°．