（2014•资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=22，求AE的长．

Question

（2014•资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2√(2)，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；

（2）∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2√(2)，
∴OC=√(OA2+AC2)=3，
∴CD=OC-OD=3-1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴(CD)/(CE)=(CA)/(CD)，即(2)/(CE)=(2√(2))/(2)，
∴CE=√(2)．
∴AE=AC-CE=2√(2)-√(2)=√(2)．