如图1，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°．（1）证明：EC=BD；（2）证明：EC⊥BD；（3）如图2，连接ED，若N点为DE的中点，连接NA并延长与BC交于点M，证明：AM⊥BC．

Question

如图1，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°．
（1）证明：EC=BD；
（2）证明：EC⊥BD；
（3）如图2，连接ED，若N点为DE的中点，连接NA并延长与BC交于点M，证明：AM⊥BC．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△EAC中，

BA＝AE

∠BAD＝∠EAC

AD＝AC

，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴EC=BD；

（2）∵△BAD≌△EAC，
∴∠D=∠ACE，
∵∠DAC=90°，
∴∠D+∠AMD=90°，
∵∠AMD=∠CMO，
∴∠ACE+∠CMO=90°，
∴∠COM=90°，
∴EC⊥BD；


（3）延长AN到H，使NH=AN，连接EH、DH，
∵N为DE中点，
∴四边形ADHE是平行四边形，
∴∠DHN=∠EAH，AE=DH=AB，
∵∠EAD+∠BAC=180°，∠EAD+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠BAC，
在△ADH和△ACB中，

AD＝AC

∠ADH＝∠BAC

DH＝AB

，
∴△ADH≌△ACB（SAS），
∴∠AHD=∠B，
∵N、A、M是一条直线，
∴∠EAH+∠BAM=90°，
∴∠B+∠BAM=90°，
∴MN⊥BC．