[关于函数凸凹性问题]今看到对函数凸凹的一个定义,具体如下： f(x)在（a,b）区间内有定义,对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0,且p+q=1, 有 f(px1+qx2)

Question

[关于函数凸凹性问题]
今看到对函数凸凹的一个定义,具体如下：
f(x)在（a,b）区间内有定义,对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0,且p+q=1,
有 f(px1+qx2)

Answer 1

两者的表述方式是一致的
我用的是 清华大学出版社 的 <高等数学>
上面就是用f[(x1+x2)/2] < [f(x1)+ f(x2)]/2 来定义的
说到证明,这个是定义啊,有什么好证明的,
就像说要证明"两组对边平行的四边形是平行四边形"一样
只有用这个定义来证明其他定理的
举个例子:
凹函数一个定理: 若f(x)有二阶导数f''(x),那么f''(x) < 0
这个定理倒是可以用定义f(px1+qx2) 既然你都学到高数了,那就用一下泰勒展开式的内容了
详细过程请见下图: