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曲线x＝t−sinty＝1−cost在t=π2处的曲率半径R=2222．

题目详情
x＝t−sint
y＝1−cost
在t=
π
2
处的曲率半径R=
2
2
2
2
．
x＝t−sint
y＝1−cost
x＝t−sint
y＝1−cost
x＝t−sint
y＝1−cost
x＝t−sint
y＝1−cost
x＝t−sintx＝t−sinty＝1−costy＝1−cost
π
2
处的曲率半径R=
2
2
2
2
．
π
2
ππ22
2
2
2
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2
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2
2
▼优质解答
答案和解析
利用曲率的计算公式可得，
K（x）=
1
R
＝|
y″
(1+y′2)
3
2
|．
因为
dy
dx
＝
dy
dt
dx
dt
＝
sint
1−cost
，
d2y
dx2
＝
(
dy
dx
)t
dx
dt
＝−
1
(1−cost)2
，
代入曲率的计算公式可得，
R=
(1+(
dy
dx
)2)
3
2
|
d2y
dx2
|

=
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
1
(1−cost)2

=2
2
1−cost
．
将t=
π
2
代入可得，
R=
1
R
111RRR＝|
y″
(1+y′2)
3
2
y″y″y″(1+y′2)
3
2
(1+y′2)
3
2
(1+y′2)
3
2
2)
3
2
3
2
333222|．
因为
dy
dx
＝
dy
dt
dx
dt
＝
sint
1−cost
，
d2y
dx2
＝
(
dy
dx
)t
dx
dt
＝−
1
(1−cost)2
，
代入曲率的计算公式可得，
R=
(1+(
dy
dx
)2)
3
2
|
d2y
dx2
|

=
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
1
(1−cost)2

=2
2
1−cost
．
将t=
π
2
代入可得，
R=
dy
dx
dydydydxdxdx＝
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dy
dt
dy
dt
dydydydtdtdt
dx
dt
dx
dt
dx
dt
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sint
1−cost
sintsintsint1−cost1−cost1−cost，
d2y
dx2
＝
(
dy
dx
)t
dx
dt
＝−
1
(1−cost)2
，
代入曲率的计算公式可得，
R=
(1+(
dy
dx
)2)
3
2
|
d2y
dx2
|

=
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
1
(1−cost)2

=2
2
1−cost
．
将t=
π
2
代入可得，
R=
d2y
dx2
d2yd2yd2y2ydx2dx2dx22＝
(
dy
dx
)t
dx
dt
(
dy
dx
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dy
dx
)t(
dy
dx
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dx
dt
dx
dt
dx
dt
dxdxdxdtdtdt＝−
1
(1−cost)2
111(1−cost)2(1−cost)2(1−cost)22，
代入曲率的计算公式可得，
R=
(1+(
dy
dx
)2)
3
2
|
d2y
dx2
|

=
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
1
(1−cost)2

=2
2
1−cost
．
将t=
π
2
代入可得，
R=
(1+(
dy
dx
)2)
3
2
|
d2y
dx2
|
(1+(
dy
dx
)2)
3
2
(1+(
dy
dx
)2)
3
2
(1+(
dy
dx
dydydydxdxdx)2)
3
2
2)
3
2
3
2
333222|
d2y
dx2
||
d2y
dx2
||
d2y
dx2
d2yd2yd2y2ydx2dx2dx22|
=
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
1
(1−cost)2

=2
2
1−cost
．
将t=
π
2
代入可得，
R=
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
1
(1−cost)2
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
(1+
sin2t
(1−cost)2
)
3
2
(1+
sin2t
(1−cost)2
sin2tsin2tsin2t2t(1−cost)2(1−cost)2(1−cost)22)
3
2
3
2
333222
1
(1−cost)2
1
(1−cost)2
1
(1−cost)2
111(1−cost)2(1−cost)2(1−cost)22
=2
2
1−cost
．
将t=
π
2
代入可得，
R= 2
2
2
22
1−cost
．
将t=
π
2
代入可得，
R=
1−cost
1−cost
1−cost1−cost．
将t=
π
2
代入可得，
R=
π
2
πππ222代入可得，
R=
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