数列{an}中，a1=1，an，an+1是方程x2-（2n+1）x+1bn＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn=（）A.12n+1B.1n+1C.n2n+1D.nn+1

Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n，a_n+1是方程x²-（2n+1）x+(1)/(bn)＝0的两个根，则数列{b_n}的前n项和S_n=（　　）
A. (1)/(2n+1)
B. (1)/(n+1)
C. (n)/(2n+1)
D. (n)/(n+1)

Answer 1

依题意，a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+1+a_n+2=2（n+1）+1，
两式相减得：a_n+2-a_n=2，又a₁=1，
∴a₃=1+2=3，a₅=5，…
∵a_n+a_n+1=2n+1，a₁=1，
∴a₂=3-1=2，a₄=2+2=4，…
∴a_n=n；
又(1)/(bn)=a_na_n+1=n（n+1），
∴b_n=(1)/(n(n+1))=(1)/(n)-(1)/(n+1)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)-(1)/(3)）+…+（(1)/(n)-(1)/(n+1)）=1-(1)/(n+1)=(n)/(n+1)．
故选D．