在数列（an）中,a1=1,an=2Sn2/2Sn-1(n大于等于2),求通项an

Question

在数列（an）中,a1=1,an=2Sn2/2Sn-1(n大于等于2),求通项an

Answer 1

当n≥2时,根据题意有
a(n)=S(n)-S(n-1)=2S(n)²/[2S(n)-1]
即2S(n)²-2S(n)S(n-1)-S(n)+S(n-1)=2S(n)²
2S(n)S(n-1)=S(n-1)-S(n)
两边同除以S(n)S(n-1),得
2=1/S(n)-1/S(n-1),n≥2
可见,{1/S(n)}是以 1/S(1)=1/a(1)=1 为首项、2为公差的等差数列.
故1/S(n)=1+2(n-1)=2n-1
上式对n≥1成立
则S(n)=1/(2n-1),n≥1
当n≥2时
a(n)=S(n)-S(n-1)
=1/(2n-1)-1/(2n-3)
=-2/[(2n-1)(2n-3)]
上式对n=1不成立,
故a(n)=1,当n=1
a(n)=-2/[(2n-1)(2n-3)],当n≥2