已知α,β,γ均为锐角,且tan(α/2)=[tan(γ/2)]^3,2tanβ=tanγ（1）求tan[(α+γ)/2]-tanβ的值（2）求证：α+γ=2β

Question

已知α,β,γ均为锐角,且tan(α/2)=[tan(γ/2)]^3,2tanβ=tanγ
（1）求tan[(α+γ)/2] -tanβ的值
（2）求证：α+γ=2β

Answer 1

根据题意
tanβ=(tanγ)/2=tan(γ/2)/[1-tan^2(γ/2)]
又
tan[(α+γ)/2]=[tan(α/2)+tan(γ/2)]/[1-tan(α/2)tan(γ/2)]
=[tan^3(γ/2)+tan(γ/2)]/[1-tan^4(γ/2)]
=tan(γ/2)[tan^2(γ/2)+1]/[tan^2(γ/2)+1][1-tan^2(γ/2)]
=tan(γ/2)/[1-tan^2(γ/2)]
=tanβ
(1)原式=tanβ-tanβ=0
（2）(α+γ)/2=β,所以α+γ=2β