在如图所示的几何体中，平行四边形ABCD的顶点都在以AC为直径的圆O上，AD=CD=DP=a，AP=CP=2a，DP∥AM，且AM=12DP，E，F分别为BP，CP的中点．（I）证明：EF∥平面ADP；（II）求三棱锥M-ABP的体积．

Question

在如图所示的几何体中，平行四边形ABCD的顶点都在以AC为直径的圆O上，AD=CD=DP=a，AP=CP=√(2)a，DP∥AM，且AM=(1)/(2)DP，E，F分别为BP，CP的中点．
（I）证明：EF∥平面ADP；
（II）求三棱锥M-ABP的体积．

Answer 1

（I）证明：∵AC是圆O的直径，
∴∠ADC为直角，即CD⊥AD （1分）
∵AD=CD=a，∴平行四边形是ABCD正方形，∴BC∥AD   
在△PBC中，E，F分别是PB，
PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（II）∵AD²+DP²=AP²，∴∠ADP是直角，∴DP⊥AD，（7分）
同理DP⊥CD
∴DP⊥平面 ABCD （8分）
∵DP∥AM，∴AM⊥平面ABCD，（9分）
∴AM⊥AD，又∴AB⊥AD
∴AD⊥平面ABM，（10分）
∴点D到平面ABM的距离AD，即为点P到平面ABM的距离，
在直角三角形ABM中，S_△ABM=(1)/(2)AB•AM=(1)/(4)a2 （11分）
∴V_P-ABM=(1)/(3) S_△ABM•AD=(1)/(3)×(1)/(4)a²•a=(1)/(12)a3   （13分）
∴V _M-ABP=V _P-ABM=(1)/(12)a3．（14分）