到底什么是协方差,它的公式是什么?

Question

到底什么是协方差,它的公式是什么?

Answer 1

对于二维随机变量（X,Y）,如果有X与Y相互独立,则有E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }=0.
根据逆否命题可知,如果 式子E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }不等于0,则X,Y不相互独立,X,Y不相互独立则存在某种关系,用 该式E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] } 表示这种关系,这个式子表示的量称为X与Y的协方差.
对二维随机变量（X,Y）,若E(X),E(Y),E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] } 都存在,则称 E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] } 为X与Y的协方差（或相关距）,记为Cov(X,Y)
Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }
由此得出的结论为：
1.若X,Y相互独立,则 Cov(X,Y)=0
2.展开协方差公式（将E放入括号里边）
Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }
=E[ XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]
=E(XY)-E[XE(Y)]-E[YE(X)]+E[ E(X)E(Y) ]
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
--------此式为协方差另一公式
(因为E(X) ,E(Y)均为已知期望值,所以是常数 ,E(X)E(Y)也是常数,而常数的期望是常数本身,所以EE(X)=E(X),EE(Y)=E(Y),E[ E(X)E(Y) ] =E(X)E(Y)）