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在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sinC,则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
题目详情
在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sinC,则△ABC是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
▼优质解答
答案和解析
∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,
∴(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)=(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB),
可得sinAcosB(a2+b2-a2+b2)=cosAsinB(a2-b2+a2+b2).
即2b2sinAcosB=2a2cosAsinB…(*)
根据正弦定理,得bsinA=asinB
∴化简(*)式,得bcosB=acosA
即2RsinBcosB=2RsinAcosA,(2R为△ABC外接圆的半径)
化简得sin2A=sin2B,
∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形.
故选:D
∴(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)=(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB),
可得sinAcosB(a2+b2-a2+b2)=cosAsinB(a2-b2+a2+b2).
即2b2sinAcosB=2a2cosAsinB…(*)
根据正弦定理,得bsinA=asinB
∴化简(*)式,得bcosB=acosA
即2RsinBcosB=2RsinAcosA,(2R为△ABC外接圆的半径)
化简得sin2A=sin2B,
∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形.
故选:D
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