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怎么证明矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同
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设矩阵A经过初等行变换之后,化为上三角矩阵B,则A等价于B
矩阵A'经过初等列变换之后,可化为下三角矩阵C,则A'等价于C
显然,B的转置矩阵B'=C
因为,转置之后对角线上的元素不变,所以,B和C的对角线元素相等.
因为,三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积
又因为,|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积,
|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积
所以,|λI-A|=|λI-A'|
所以,矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同
矩阵A'经过初等列变换之后,可化为下三角矩阵C,则A'等价于C
显然,B的转置矩阵B'=C
因为,转置之后对角线上的元素不变,所以,B和C的对角线元素相等.
因为,三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积
又因为,|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积,
|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积
所以,|λI-A|=|λI-A'|
所以,矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同
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