谁能给出微分形式与外微分形式的较详细且浅显易懂的描述?

Question

谁能给出微分形式与外微分形式的较详细且浅显易懂的描述?

Answer 1

微分形式是为了满足关于局部坐标卡的不变性而定义的,这使得我们可以在Riemann曲面或流形上考虑微分形式,进而进行微积分.各阶微分形式形成相应的线性空间.如,一阶微分形式空间,二阶微分形式空间;特别的,可以考虑全纯一阶微分形式的空间(g维,若曲目按亏格为g),调和一阶微分形式的空间(2g维,若曲面亏格为g).这些空间在经典的Riemann曲面理论中有重要的应用,特别是曲面的分类问题这一基本问题.外微分,一方面可以对任意d阶微分形式做外微分,得到d+1阶微分形式,考虑闭微分以及恰当微分;另一方面,可以借此定义上同调群=闭微分/恰当微分.此外,经典的Green公式,Stokes公式以及高斯公式,都是下述最一般的Stokes公式的特例:\int_{\partial C} w(z) dz= \int_C dw.