求此题更为巧妙的解法（高一数学）已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直于OQ,试求m的值.这是我做的（是对的）设P(3-2y1,y1)Q(3-2y2,y2)x=3-2y所以有(3-2y)^2+y^2+3-2y-6y+m=0

Question

求此题更为巧妙的解法（高一数学）
已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直于OQ,试求m的值.
这是我做的（是对的）
设P(3-2y1,y1) Q(3-2y2,y2)
x=3-2y
所以有(3-2y)^2+y^2+3-2y-6y+m=0
整理得到
5y^2-20y+12+m=0
y1+y1=4
y1y2=(12+m)/5
因为OP垂直OQ
所以向量OP*向量OQ=0
(3-2y1,y1)*(3-2y2,y2)=0
9-6(y1+y2)+5y1y2=0
12+m-15=0
m=3
不只是否有巧妙点的办法?有人答+分

Answer 1

你P、Q二点的坐标设得太复杂了,其实你的思路已经很简单了,用到的知识点也很好：韦达定理、向量等
由方程组
x+2y-3=0
x^2+y^2+x-6y+m=0
得到
5y^2-20y+12+m=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有
y1+y2=4
y1y2=(12+m)/5
由向量OP⊥向量OQ可得
向量OP×向量OQ＝0可得,
向量OP×向量OQ＝x1x2+y1y2
=(3-2y1)(3-2y2)+y1y2
=9－6（y1+y2)+5y1y2
=9-24+(12+m)
=-3+m=0
所以m=3