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已知a为实数,且a+√15与1/a-√15都是整数,则a的值是
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已知a为实数,且a+√15与1/a-√15都是整数,则a的值是
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答案和解析
设n=a+根号15,则a=n-根号15
1/a-根号15=1/(n-根号15)-根号15
=(n+根号15)/(n*n-15)-根号15
=(n+根号15-根号15*n*n+15*根号15)/(n*n-15)
=(-根号15*n*n+16根号15+n)/(n*n-15)
因为n*n-15,1/a-根号15是整数
所以-根号15*n*n+16根号15+n是整数
又因为n是整数,所以-根号15*n*n+16根号15是整数
即根号15*(16-n*n)是整数
若根号15*(16-n*n)是整数,只有在16-n*n=0时成立,所以n=正负4
a=正负4-根号15
1/a-根号15=1/(n-根号15)-根号15
=(n+根号15)/(n*n-15)-根号15
=(n+根号15-根号15*n*n+15*根号15)/(n*n-15)
=(-根号15*n*n+16根号15+n)/(n*n-15)
因为n*n-15,1/a-根号15是整数
所以-根号15*n*n+16根号15+n是整数
又因为n是整数,所以-根号15*n*n+16根号15是整数
即根号15*(16-n*n)是整数
若根号15*(16-n*n)是整数,只有在16-n*n=0时成立,所以n=正负4
a=正负4-根号15
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