一道高中函数题,有一定难度设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?一楼的解答不正确

Question

一道高中函数题,有一定难度
设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?
一楼的解答不正确

Answer 1

设h(x)＝p*x^2＋q*x＋r,只需求r
θ^3－3θ＋10＝0（注θ是三次方程的根,所以θ有三个解）,
α＝（θ^2＋θ－2）/2
代入h(α)=θ,得
p*((θ^2＋θ－2)/2)^2＋q*((θ^2＋θ－2)/2)＋r＝θ
整理之,凡θ的次数超过2次的都用 θ^3＝3θ－10 代 把上面的等式中θ的次数降到2次,
q*θ^2＋（6p＋q－2）*θ＋12p－2q＋2r＝0,
因为p,q,r是有理数,θ的次数最高为2次,所以最多有两个根,但现在有3个θ满足上式,所以上式应为恒等式,每个系数都为0,
所以 q=0 ,p=-1/2,r=-2
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其实,根据楼上所说,α与θ的关系可以化简为 α×（θ－1）＝－4,得到
θ＝－4/α＋1
代入 p*α^2＋q*α＋r＝θ,θ^3－3θ＋10＝0
分别得到两个关于α的一元三次方程,
p*α^3＋q*α^2＋(r-1)*α＋4＝0
8*α^3＋48*α－64＝0
因为有三个α都满足这两个方程,所以这两个方程对应系数成比例,也能得到
q=0 ,p=-1/2,r=-2