如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．

Question

如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．

（1）求证：GD=DC．
（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

（1）证明：∵ED⊥AC，∠C=30°，F是EC的中点，
∴DF=FC，∠C=∠FDC=30°，
∴∠GFD=60°，又GD⊥DF，
∴∠CGD=∠C=30°，
∴GD=DC．
（2）∵∠ABC=90°，∠C=30°，AC=4，
∴∠A=60°，AB=2，
又∠HDA=∠C+∠CGD=60°，
∴AH=HD=AD，
∵AD=x，AC=4，HG=y，
∴GD=CD=4-x，
①若DH交线段AB的延长线于点H（如图1）
有HG+GD=AD，
∴y+4-x=x，
∴y=2x-4（2≤x＜4），
②若DH交线段AB于点H（如图2）
有GD-GH=AD，
∴4-x-y=x，
∴y=4-2x（1≤x＜2），
答：y关于x的函数解析式是y=2x-4（2≤x＜4）或 y=4-2x（1≤x＜2）．