试证对于任意正整数n,1/1!*3+1/2!*4+.+1/n!*(n+2)=1/2-[1/(n+2)!]

Answer 1

数学归纳法!
n=1 成立
设n=k 1/1!*3+1/2!*4+.+1/k!*(k+2)=1/2-[1/(k+2)!]
n=k+1时 1/1!*3+1/2!*4+.+1/k!*(k+2)+1/(k+1)!*(k+3)
=1/2-[1/(k+2)!]+1/(k+1)!*(k+3)
=1/2-[1/(k+1)!*(k+2)]+1/(k+1)!*(k+3)(然后合并同类项)
=1/2-[1/(k+1)!]*[1/(k+2)-1/(k+3)]（下一步分式化简）
=1/2-[1/(k+1)!]*[1/(k+2)*(k+3)]（然后整理）
=1/2-[1/(k+3)!]