试证：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+L+1/n(n+1)(n+2)

Question

试证：对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+L+1/n(n+1)(n+2)<1/4

Answer 1

1/[n(n+1)(n+2)]
=(1/n)*[1/(n+1) - 1/(n+2)]
= 1/[n(n+1)] - 1/[n(n+2)]
1/1*2*3+1/2*3*4+……+1/n(n+1)(n+2)
= 1/1*2 - 1/1*3 + 1/2*3 - 1/2*4 + …… + 1/[n(n+1)] - 1/[n(n+2)]
= [1/1*2 + 1/2*3 + …… 1/n(n+1) ] - [1/1*3 + 1/2*4 + …… + 1/[n(n+2) ]
因为 1/n(n+1) = 1/n - 1(n+1) ,
所以上式中 前一半为
1/1*2 + 1/2*3 + …… 1/n(n+1)
=1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + …… + 1/n - 1/(n+1)
= 1 - 1/(n+1)
因为 1/n(n+2) = [1/n - 1/(n+2)]/2
所以 后一半为
1/1*3 + 1/2*4 + …… + 1/[n(n+2)
= [1/1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 + …… 1/n - 1/(n+2) ]/2
= [1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2)]/2
= 3/4 - [1/(n+1) + 1/(n+2)]/2
所以
原式
= 1 - 1/(n+1) - 3/4 + [1/(n+1) + 1/(n+2)]/2
= 1/4 - [1/(n+1) - 1/(n+2)]/2
其中 1/(n+1) - 1/(n+2) 恒大于0.所以
原式 < 1/4
命题得证