设X,Y是连续型随机变量,证明：若X与Y独立,则X^2与Y^2相互独立额，不要太复杂，我数学是普通专业的大二水平

Answer 1

假定X,Y的联合分布为 f_(X,Y)(x,y),则因为 X与Y独立,
f_(X,Y)(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
显然,随机向量(X^2,Y^2) 是 随机向量 (X,Y)的一个变换,则有：
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A,
其中 A 为 (x,y) 到 (u,v)=(x^2,y^2) 的微分变换矩阵,因为 x^2只依赖于x,y^2只依赖于y,所以 A其实为对角矩阵,A11 = dx / du = 1/(2√u) ,A22 = dy / dv = 1/(2√v),
所以 det A = A11 * A22 = 1/( 4√(uv) )
所以
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A = f_X(√u) f_Y(√v) * 1/( 4√(uv) )
= 1/(2√u) f_X(√u) * 1/(2√v) f_Y(√v)
显然,这是两个函数的乘积,第一个函数只依赖于u,第二个函数只依赖于v,
所以 X^2与Y^2相互独立.
（矩阵A及其行列式被称为Jacobian,雅克比矩阵/行列式,如果想知道有关变换的话）
嗯,不要复杂.那就直接用一个结论.如果 X,Y独立,则 对于任意的函数 f 和 g,
f(X) ,g(Y)也都是独立的.因为f(X) 只依赖于X,而g(Y)只依赖于Y.