怎么证明两个随机变量独立它们的相关函数也独立,反之不成立如题

Answer 1

我猜你是想证明独立的一定相关但反之不然.
如果是这样简单.设X与Y独立,那么COV(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-E(X)E(Y)再由独立性定义有E(XY)=E(X)*E(Y)此即COV(X,Y)=0.
反过来,举例即可.设X是离散型的随机变量,以1/2概率取2,以1/2概率取-2,令Y=X*X（即X的平方）那么显然由E(X)=0得COV(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=E(XY)-0=0-0=0即X与Y不相关,但显然Y完全由X决定所以他们不独立.