已知F1,F2是椭圆的两个焦点,M为椭圆上一点,则向量MF1·向量MF2的最大值为多少?

Question

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,M为椭圆上一点,则向量MF1·向量MF2的最大值为多少?

Answer 1

椭圆: x²/a² + y²/b² = 1
M(u, v): u²/a² + v²/b² = 1, v² = b² - b²u²/a²
F1(-c, 0), F2(c, 0)
向量MF1 = (-c - u, -v)
向量MF2 = (c - u, -v)
向量MF1·向量MF2 = (-c - u)(c - u) + (-v)² = u² - c² + b² - b²u²/a²
= (1 - b²/a²)u² + b² - c²
u² = a²时, 结果最大 = (1 - b²/a²)a² + b² - c²
= a² - b² + b² - c²
= a² - c²
= b²