圆A和圆B的半径都为1厘米,AB=18厘米,圆A和圆B都和圆O外切,且三圆都和直线L相切,求圆O的半径.

Question

圆A和圆B的半径都为1厘米,AB=18厘米,圆A和圆B都和圆O外切,且三圆都和直线L相切,求圆O的半径.

Answer 1

令AB与⊙A、⊙B分别相交于C、D.
∵⊙A、⊙B的半径都是1cm,∴CD＝AB－AC－BD＝18－1－1＝16（cm）.
∴点O不在AB上,否则⊙O的半径一定是8cm,这样⊙A、⊙B、⊙O就不可能与同一直线相切.
∵点O在AB外,⊙O又与⊙A、⊙B相外切,∴AO＝BO,∴点O在AB的中垂线上,
∴直线L就一定是⊙A、⊙B的内切线.
∵⊙A、⊙B是等圆,∴⊙A、⊙B关于AB的中垂线对称、且⊙A、⊙B都关于AB对称.
∴⊙A、⊙B的两条内切线一定相交于AB的中点.
令AB的中点为G,⊙A与⊙O相切于E、⊙B与⊙O相切于F.
不失一般性地令EG为直线L,则⊙A、⊙B的另一内公切线切⊙A于H.
显然有：AH⊥GH,AG＝AB/2＝9cm,AH＝1cm,
∴由勾股定理,有：GH＝√（AG^2－AH^2）＝√（81－1）＝√80（cm）.
∴FH＝2GH＝2√80（cm）.
过A作AM⊥BO交BO于M.
∵AH⊥FH、MF⊥FH、AM⊥MF,∴AMFH是矩形,∴AM＝FH＝2√80cm,FM＝AH＝1cm.
设⊙O的半径为r,则：AO＝AE＋EO＝1＋r,MO＝FO－FM＝r－1.
由勾股定理,有：AO^2＝AM^2＋MO^2,∴（1＋r）^2＝4×80＋（r－1）^2,
∴1＋2r＋r^2＝4×80＋1－2r＋r^2,　∴4r＝4×80,　∴r＝80（cm）.
即⊙O的半径为80cm.