设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为．

Question

设直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为___．

Answer 1

∵直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N
∴M（a²，a），N（lna，a）
∴线段MN长l=|a²-lna|
由题意可知a＞0，设f（a）=a²-lna，f'（a）=2a-(1)/(a)
令f'（a）＞0，a＞(√(2))/(2)；令f'（a）＜0，a＜(√(2))/(2)
故f（(√(2))/(2)）为函数f（a）的最小值，并且f（(√(2))/(2)）＞0
所以a=(√(2))/(2)时，线段MN长取得最小值
故答案为：(√(2))/(2)