在锐角三角形ABC中,已知AB>AC,P是BC边上任意一点,点P关于AB的对称点为E（看下文）关于AC的对称点为F,则点P在什么位置时,三角形AEF的面积取得最值?

Question

在锐角三角形ABC中,已知AB>AC,P是BC边上任意一点,点P关于AB的对称点为E（看下文）
关于AC的对称点为F,则点P在什么位置时,三角形AEF的面积取得最值?

Answer 1

连接AP,

∵P、E关于AB对称,∴AP=AE,∠BAE=∠BAP,

∵P、F关于AC对称,∴AP=AF,∠CAF=∠CAP,

∴∠EAF=2∠BAC为定值,

∴SΔAEF=1/2AE*AF*sin2∠BAC=1/2AP^2*sin2∠BAC,

∴当AP最小(AP⊥BC)时,SΔAEF最小,

当AP最大(P、B重合)时,SΔAEF最大.