已知复数z1=根号3+i,z2的模等于2,z1×z2^2是虚部为正数的纯虚数.求z1×z2^2的模,求复数z2

Question

已知复数z1=根号3+i,z2的模等于2,z1×z2^2是虚部为正数的纯虚数.求z1×z2^2
的模,求复数z2

Answer 1

z1=2(cos30°+isin30°)=2e^(iπ/6)
由于z2的模为2,设
z2=2e^(iθ)
则 z1×z2^2=2e^(iπ/6)×4e^(2iθ)=8e^[i(2θ+π/6)]=8[cos(2θ+π/6)+isin(2θ+π/6)]
由于其为虚部为整数的纯虚数,即要求
cos(2θ+π/6)=0 sin(2θ+π/6)>0
而当cos(2θ+π/6)=0 时,sin(2θ+π/6)=1或-1(不合）
综上 z1×z2^2=8i