a>b>0,求a^2+1/b(a+b)的最小值

Question

a>b>0,求a^2+1/b(a+b)的最小值

Answer 1

原题目：a>b>0,求a^2 + 1 / [b(a+b)] 的最小值
第一：原题目有问题,假如a 无限接近0,而b足够大,那么原题目 = 接近0 + 1/ 足够大 = 接近0
第二：所以我猜测原题目应该是这样：
a>b>0,求a^2 + 1 / [b(a-b)] 的最小值 ------ 分母是减号 a -b
因为：a - b > O,b > 0
又因为：a - b + b = a
再又因为：(A - B)^2 ≥ 0 ===> 4A * B ≤ (A + B)^2 ①
注释1：当且仅当 A = B 时,上面①式等号才成立.
在①式中,把A用(a - b)替换,得到：
4(a - b) * b ≤ (a - b + b)^2 = a^2 ②
注释2：当且仅当 (a - b) = b 时,即a = 2b 上面②式等号才成立.
由②式得到：1 / [(a - b) * b] ≥ 4 / a^2 ③
把③式代入原式：
原式 = a^2 + 1 / [(a - b) * b] ≥ a^2 + 4 / a^2
下面利用 A + B ≥ 2√AB
原式 ≥ 2√[a^2 *(4 / a^2)] = 2√4 = 4
注释3：当且仅当 a^2 = (4/a^2)时,即a^4 = 4 上式“＝”才成立.
总和考虑,注释2以及注释3,
当且仅当 a = √2 ,b = √2/2时,原式 = a^2 + 1 / [(a - b) * b]取得最小值 4 .