证明y=sinnx在〔0,π/n〕上的面积为2/n(n∈N)

Question

证明y=sinnx在〔0,π/n〕上的面积为2/n(n∈N)

Answer 1

证明：根据定积分的几何意义知曲线y=sinnx在〔0,π/n〕上的面积就是函数y=sinnx在〔0,π/n〕上的定积分,即
S=sinnx在〔0,π/n〕上的定积分
=-(1/n)cosnx| [0,π/n]
=-(1/n)cos[n*(π/n)]+(1/n)cos0
=-(1/n)cosπ+1/n
=1/n+1/n
=2/n
故y=sinnx在〔0,π/n〕上的面积为2/n(n∈N).