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已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条准线方程是X=1,倾斜角为兀/4的直线L交椭圆C于A,B两点,且AB中点的坐标为(-1/2,1/4),求椭圆C的方程.
题目详情
已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条准线方程是X=1,倾斜角为兀/4的直线L交椭圆C于A,B两点,且AB中点的坐标为(-1/2,1/4),求椭圆C的方程.
▼优质解答
答案和解析
用点差法,设A为(x1,y1),B为(x2,y2)设椭圆方程为x^2\a^2+y^2\b^2=1
因为A,B都在椭圆上,故有x1^2\a^2+y1^2\b^2=1 x2^2\a^2+y2^2\b^2=1
两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)\a^2+(y1-y2)(y1+y2)\b^2=0
又AB中点坐标为(-1/2,1/4),所以x1+x2=-1 y1+y2=1\2
且由直线斜率为兀/4,知(y1-y2)/(x1-x2)=1,将这些条件代入上式有
a^2-2b^2=0 又由准线方程为a^2/c=1 且c^2+b^2=a^2 由这三式得出的
c=1/2 a^2=1/2 b^2=1/4 椭圆方程为2x^2+4y^2=1
因为A,B都在椭圆上,故有x1^2\a^2+y1^2\b^2=1 x2^2\a^2+y2^2\b^2=1
两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)\a^2+(y1-y2)(y1+y2)\b^2=0
又AB中点坐标为(-1/2,1/4),所以x1+x2=-1 y1+y2=1\2
且由直线斜率为兀/4,知(y1-y2)/(x1-x2)=1,将这些条件代入上式有
a^2-2b^2=0 又由准线方程为a^2/c=1 且c^2+b^2=a^2 由这三式得出的
c=1/2 a^2=1/2 b^2=1/4 椭圆方程为2x^2+4y^2=1
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