数学圆系方程证明证明：x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0是经过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程

Question

数学圆系方程证明
证明：x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0是经过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程

Answer 1

这个命题成立的条件必须为：“直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0有两个交点”,下面的证明将说明这个条件必须成立：

为方便表述,记Ax+By+C=0为直线L,记x²+y²+Dx+Ey+F=0为圆O.

 

首先,如果x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0有定义,则其轨迹是圆；

 

其次,如果点P（x1,y1）和Q（x2,y2）是直线L与圆O的交点,则P和Q的坐标（x,y）满足x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,即点P,Q在圆x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0上；

 

最后,若某个圆O1写不成“x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0”的形式,下面分2种情况证明圆O1不会同时过点P,Q：

如果P,Q纵坐标不等,则它一定可以写成“x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)+My+N=0,M,N至少一个非零”的形式,如果它过直线L和圆O其中一个交点P,把P点坐标代入圆O1中,化简得My1+N=0,此时把Q点坐标代入圆O1中,化简有My2+N不等于零,即圆O1不过点Q

如果P,Q横坐标不等,把圆O1写成“x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)+Mx+N=0,M,N至少一个非零”的形式,同前面的情况类似可以证出圆O1不会同时过点P,Q.

 

综上所有讨论,就可以证出如果直线L和圆O有两个不同交点,则过这两个交点的任何一个圆一定可以写成“x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0”的形式

 

当直线L和圆O只有一个交点时,设交点为P（r,s）,如果r非零,则容易证明任何一个圆“x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)+mx-mr=0”过点P,这与你提出的命题矛盾,即要证明的命题不成立.

 

其实这也可以从几何上做出合理的解释：当直线L保持斜率不变逐渐远离圆心到与圆O相切的过程中,从几何形状可以判断,如果交点P,Q不等,则过P,Q的圆的圆心所称的轨迹是一条直线L1,并且这条直线不随直线L的运动而改变,一旦运动至相切,则过切点的圆的圆心可以是平面上的任意一点,但此时圆系“x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0”所表示的圆心轨迹却仍是L1