求所有使n^2-19n+99的值为完全平方数的正整数n总和.

Question

求所有使n^2-19n+99的值为完全平方数的正整数n总和.

Answer 1

n^2-19n+99=(n-10)(n-9)+9×1=k^2
如果n＜9,原式化为(10-n)(9-n)
10-n与9-n只差1,那么只有在10-n=9时
才能与9×1提出(10-n)的因数,并使之成为(10-n)^2
10-n=9
n=1
如果n＞9时
原式中(n-9)与(n-10)只差1,那么只有在n-9=9时
才能与9×1提出(n-9)的因数,并使之成为(n-9)^2
n-9=9
n=18
n=9时
原式=(9-10)(9-9)+9×1=9=3^2
所以n=1,9,18时成立
所求为:1+9+18=28