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如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连接DE,DF.(1)求证:△BEF∽△CEG;
题目详情
如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连接DE,DF.
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由;
(3)设BE=x,△DEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x
为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由;
(3)设BE=x,△DEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DG,
所以∠B=∠GCE,∠G=∠BFE,
所以△BEF∽△CEG.
(2)△BEF与△CEG的周长之和为定值.
理由一:过点C作FG的平行线交直线AB于H,
因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形.
所以FH=CG,FG=CH,
因此,△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH,
∵∠B=∠B,∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH,
∴
=
由BC=10,AB=5,AM=4,
可得CH=8,
∴BH=6,
所以BC+CH+BH=24;
理由二:由AB=5,AM=4,可知:
在Rt△BEF与Rt△GCE中,有:EF=
BE,BF=
BE,GE=
EC,GC=
CE,
所以,△BEF的周长是
BE,△ECG的周长是
CE,
又BE+CE=10,因此△BEF与△CEG的周长之和是24.
(3)设BE=x,则EF=
x,GC=
(10-x),
所以y=
EF•DG=
•
x[
(10-x)+5]=-
x2+
x,
配方得:y=-
(x-
)2+
.
所以,当x=
时,y有最大值.
最大值为
.
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所以∠B=∠GCE,∠G=∠BFE,
所以△BEF∽△CEG.
(2)△BEF与△CEG的周长之和为定值.
理由一:过点C作FG的平行线交直线AB于H,
因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形.
所以FH=CG,FG=CH,
因此,△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH,
∵∠B=∠B,∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH,
∴
AB |
BC |
AM |
CH |
由BC=10,AB=5,AM=4,
可得CH=8,
∴BH=6,
所以BC+CH+BH=24;
理由二:由AB=5,AM=4,可知:
在Rt△BEF与Rt△GCE中,有:EF=
4 |
5 |
3 |
5 |
4 |
5 |
3 |
5 |
所以,△BEF的周长是
12 |
5 |
12 |
5 |
又BE+CE=10,因此△BEF与△CEG的周长之和是24.
(3)设BE=x,则EF=
4 |
5 |
3 |
5 |
所以y=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
3 |
5 |
6 |
25 |
22 |
5 |
配方得:y=-
6 |
25 |
55 |
6 |
121 |
6 |
所以,当x=
55 |
6 |
最大值为
121 |
6 |
看了 如图,平行四边形ABCD中,...的网友还看了以下:
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