已知函数fx=lnx/x+lna/x+5在x=1处取到极值求a,fx极值若x》1时,不等式(x+1)f(x)>=5x+k+5恒成立,求k范围

Question

已知函数fx=lnx/x+lna/x+5在x=1处取到极值
求a,fx极值
若x》1时,不等式(x+1)f(x)>=5x+k+5恒成立,求k范围

Answer 1

1.f`(x)=(1-lnx)/x²-lna/x²,所以f`(1)=1-lna=0,得到a=e.
所以f(x)=lnx/x+1/x+5,f`(x)=-lnx/x²,f(x)有极大值f(1)=6,无极小值.
2.也即(x+1)(lnx/x+1/x+5)≥5x+k+5对x≥1恒成立.
化简得到lnx+1+lnx/x+1/x≥k.
记g(x)=lnx+lnx/x+1/x+1,则g`(x)=(x-lnx)/x²
记h(x)=x-lnx,则h`(x)=1-1/x≥0(x≥1),故h(x)递增,h(x)≥h(1)=1＞0.
所以g`(x)>0,g(x)递增,g(x)≥g(1)=2,所以2≥k,k的范围是k≤2.