x,y,z在0°到90°,且x+y+z=90°,求tanx,tany,tanz的最大值

Question

x,y,z在0°到90°,且x+y+z=90°,求tanx,tany,tanz的最大值

Answer 1

Tan[x] Tan[y] Tan[z]
= Tan[x] Tan[y] Tan[90°- (x+y)]
=(Tan[x] Tan[y])/Tan[x + y]
对x求偏导得
Cos[2 x + y] Csc[x + y]^2 Sec[x]^2 Sin[y] Tan[y]
令其偏导为0得,
Cos[2 x + y]=0,于是2x+y=90°,
类似地对y求偏导令其偏导为0得,2y+x=90°,
于是x=y=30°,z=90°-x-y=30°,
于是Tan[x] Tan[y] Tan[z]的极值为
Tan[30°] Tan[30°] Tan[30°]=1/(3 Sqrt[3])≈0.19245
比较一下,Tan[15°] Tan[30°] Tan[45°]=(2 - Sqrt[3])/Sqrt[3]≈0.154701
于是知道Tan[30°] Tan[30°] Tan[30°]=1/(3 Sqrt[3])≈0.19245应该是极大值,
再考虑边界,边界上的x,y,z中必有一个为0,
于是Tan[x] Tan[y] Tan[z]=0,
极大值大于边界值,所以,极大值即为最大值.
即当x=y=30°,z=30°,时,可取最大值,最大值为1/(3 Sqrt[3])≈0.19245