详细讲解两角和与差的正弦余弦和正切公式

Question

详细讲解两角和与差的正弦余弦和正切公式

Answer 1

正弦、余弦的和差化积公式
　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式
　　sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
　　cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】　
　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
将以上两式的左右两边分别相加,得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
　　设 α+β=θ,α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2
　　把α,β的值代入,即得
　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
　　法2
　　根据欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx
　　令x=a+b
　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
　　sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa
正切的和差化积
　　tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
　　cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
　　tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
　　tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
　　证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
　　∴等式成立
注意事项
　　在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行.若是异名,必须用诱导公式化为同名；若是高次函数,必须用降幂公式降为一次
　　口诀
　　正加正,正在前,余加余,余并肩
　　正减正,余在前,余减余,负正弦
　　反之亦然 　　生动的口诀：（和差化积）
　　帅+帅=帅哥
　　帅-帅=哥帅
　　哥+哥=哥哥
　　哥-哥=负嫂嫂
　　反之亦然