在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且cosA=13．（Ⅰ）求cos（B+C）+cos2A的值：（Ⅱ）若a=22，b+c=4，求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且cosA=(1)/(3)．
（Ⅰ）求cos（B+C）+cos2A的值：
（Ⅱ）若a=2√(2)，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵cosA=(1)/(3)，
∴cos（B+C）+cos2A=-cosA+2cos²A-1=-(1)/(3)-(7)/(9)=-(10)/(9)；
（Ⅱ）∵a=2√(2)，cosA=(1)/(3)，即sinA=√(1−cos2A)=(2√(2))/(3)，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即8=b²+c²-(2)/(3)bc=（b+c）²-(8)/(3)bc=16-(8)/(3)bc，
整理得：bc=3，
则S_△ABC=(1)/(2)bcsinA=(1)/(2)×3×(2√(2))/(3)=√(2)．