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如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.如图(2),在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′.求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
题目详情
如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
如图(2),在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′.
求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752643-4255.jpg)
如图(2),在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′.
求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
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▼优质解答
答案和解析
证明:在BB′上取点P,使∠BPC=120°,
连接AP,再在PB′上截取PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°,
∴∠EPC=60°,
∴△PCE为正三角形,
∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB′=120°,
∵△ACB′为正三角形,
∴AC=B′C,∠ACB′=60°,
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°,
∴∠PCA=∠ECB′,
∴△ACP≌△B′CE,
∴∠APC=∠B′EC=120°,PA=EB′,
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,
∴P为△ABC的费马点,
∴BB′过△ABC的费马点P,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.
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连接AP,再在PB′上截取PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°,
∴∠EPC=60°,
∴△PCE为正三角形,
∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB′=120°,
∵△ACB′为正三角形,
∴AC=B′C,∠ACB′=60°,
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°,
∴∠PCA=∠ECB′,
∴△ACP≌△B′CE,
∴∠APC=∠B′EC=120°,PA=EB′,
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,
∴P为△ABC的费马点,
∴BB′过△ABC的费马点P,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.
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