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几何体E-ABCD是四棱锥,三角形ABD为正三角形,CB=CD,EC垂直BD求证BE=DE?
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几何体E-ABCD是四棱锥,三角形ABD为正三角形,CB=CD,EC垂直BD求证BE=DE?
▼优质解答
答案和解析
这题其实还有第二小问的噢
证明:(I)
设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,CO⊥BD,
又已知CE⊥BD,EC∩CO=C,
所以BD⊥平面OCE.
所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,
所以BE=DE.
补充: (2)问 :若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
(II)证法一:
取AB中点N,连接MN,DN,
∵M是AE的中点,
∴MN∥BE,又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∴ND∥BC,
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
∴DN∥平面BEC,又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,
∴DM∥平面BEC
证法二:延长AD,BC交于点F,连接EF,
∵CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,
∴AB=1 2 AF,
又AB=AD,
∴D为线段AF的中点,连接DM,DM∥EF,又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
∴DM∥平面BEC
证明:(I)
设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,CO⊥BD,
又已知CE⊥BD,EC∩CO=C,
所以BD⊥平面OCE.
所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,
所以BE=DE.
补充: (2)问 :若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
(II)证法一:
取AB中点N,连接MN,DN,
∵M是AE的中点,
∴MN∥BE,又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∴ND∥BC,
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
∴DN∥平面BEC,又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,
∴DM∥平面BEC
证法二:延长AD,BC交于点F,连接EF,
∵CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,
∴AB=1 2 AF,
又AB=AD,
∴D为线段AF的中点,连接DM,DM∥EF,又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
∴DM∥平面BEC
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