若f(x)的最小正周期是T,求证f(ax)的最小正周期是T/|a|

Question

若f(x)的最小正周期是T,求证f(ax)的最小正周期是T/|a|

Answer 1

证：首先证明：-T也是周期.在f(x)=f(x+T)中,用 x-T替换x,得 f(x-T)=f[(x-T)+T]=f(x)
从而 -T也是函数的周期.
设g(x)=f(ax) 则 g(x+T/|a|)=f[a(x+T/|a|)]=f(ax±T)=f(ax)=g(x),从而T/|a|是y=f(ax)函数的一个周期.
假设 设M也是函数g(x)=f(ax)的周期,且 0