已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，若f（c）=0且0＜x＜c时，f（x）＞0．（1）试比较1a与c的大小；（2）证明：-2＜b＜-1．

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，若f（c）=0且0＜x＜c时，f（x）＞0．
（1）试比较(1)/(a)与c的大小；
（2）证明：-2＜b＜-1．

Answer 1

（1）∵f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f（x）=0有两个不同的实数根x₁，x₂．
∵f（c）=0，
∴c是方程f（x）=0的一个根，
不妨设x₁=c，
∵x₁x₂=(c)/(a)，∴x₂=(1)/(a)（(1)/(a)≠c），
假设(1)/(a)＜c，又(1)/(a)＞0，由0＜x＜c时，f（x）＞0，
得f（(1)/(a)）＞0，与已知f（(1)/(a)）=0矛盾，∴(1)/(a)＞c．
（2）证明：由f（c）=0，得ac+b+1=0，
∴b=-1-ac．
又a＞0，c＞0，∴b＜-1．
f（x）图象的对称轴方程为
x=-(b)/(2a)=(x1+x2)/(2)=((1)/(a)+c)/(2)＜((1)/(a)+(1)/(a))/(2)=(1)/(a)，
即-(b)/(2a)＜(1)/(a)．
又a＞0，∴b＞-2，∴-2＜b＜-1．