已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为直线x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x=-1，求此抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．

Answer 1

将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有：

c＝1

4a+2b+c＝−3

，
解得：

b＝−2−2a

c＝1

∴抛物线的解析式为y=ax²-（2+2a）x+1．
（1）∵x=-(−(2+2a))/(2a)=-1，
∴(1+a)/(a)=-1，
解得a=-(1)/(2)．
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x²-x+1．
（2）由题意知：x=-(−(2+2a))/(2a)＜0，即-(1+a)/(a)＜0；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0
∴1+a＞0，且a＜0
∴-1＜a＜0．
（3）设B（x₁，0），C（x₂，0），x₁＜x₂；
∵x₁x₂=(1)/(a)，且a＜0．
∴x₁x₂＜0，即B在x轴负半轴，C在x轴正半轴；
∴OB=-x₁，OC=x₂．
∵∠BAC=90°，
在直角三角形BAC中，AO⊥BC，根据射影定理可得：
OA²=OB•OC=-x₁•x₂=1，即-(1)/(a)=1，a=-1．