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已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下,并且经过A(0,1)和M(2,-3)两点.(1)若抛物线的对称轴为直线x=-1,求此抛物线的解析式;(2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧,试求a的取值范围;(3
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已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下,并且经过A(0,1)和M(2,-3)两点.
(1)若抛物线的对称轴为直线x=-1,求此抛物线的解析式;
(2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧,试求a的取值范围;
(3)如果抛物线与x轴交于B、C两点,且∠BAC=90°,求此时a的值.
(1)若抛物线的对称轴为直线x=-1,求此抛物线的解析式;
(2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧,试求a的取值范围;
(3)如果抛物线与x轴交于B、C两点,且∠BAC=90°,求此时a的值.
▼优质解答
答案和解析
将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有:
,
解得:
∴抛物线的解析式为y=ax2-(2+2a)x+1.
(1)∵x=-
=-1,
∴
=-1,
解得a=-
.
∴抛物线的解析式为y=-
x2-x+1.
(2)由题意知:x=-
<0,即-
<0;
∵抛物线开口向下,
∴a<0
∴1+a>0,且a<0
∴-1<a<0.
(3)设B(x1,0),C(x2,0),x1<x2;
∵x1x2=
,且a<0.
∴x1x2<0,即B在x轴负半轴,C在x轴正半轴;
∴OB=-x1,OC=x2.
∵∠BAC=90°,
在直角三角形BAC中,AO⊥BC,根据射影定理可得:
OA2=OB•OC=-x1•x2=1,即-
=1,a=-1.
|
解得:
|
∴抛物线的解析式为y=ax2-(2+2a)x+1.
(1)∵x=-
−(2+2a) |
2a |
∴
1+a |
a |
解得a=-
1 |
2 |
∴抛物线的解析式为y=-
1 |
2 |
(2)由题意知:x=-
−(2+2a) |
2a |
1+a |
a |
∵抛物线开口向下,
∴a<0
∴1+a>0,且a<0
∴-1<a<0.
(3)设B(x1,0),C(x2,0),x1<x2;
∵x1x2=
1 |
a |
∴x1x2<0,即B在x轴负半轴,C在x轴正半轴;
∴OB=-x1,OC=x2.
∵∠BAC=90°,
在直角三角形BAC中,AO⊥BC,根据射影定理可得:
OA2=OB•OC=-x1•x2=1,即-
1 |
a |
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