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利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．
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利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．
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答案和解析
证明：方法1（定义法）：设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
∵f′（x）=
，
∴f′（-x）=
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
，
∴f′（-x）=
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
f(x+△x)-f(x) △x f(x+△x)-f(x) f(x+△x)-f(x) f(x+△x)-f(x)△x △x △x，
∴f′（-x）=
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
f(-x+△x)-f(-x) △x f(-x+△x)-f(-x) f(-x+△x)-f(-x) f(-x+△x)-f(-x)△x △x △x=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
-f(x-△x)+f(x) △x -f(x-△x)+f(x) -f(x-△x)+f(x) -f(x-△x)+f(x)△x △x △x=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
f(x-△x)-f(x) -△x f(x-△x)-f(x) f(x-△x)-f(x) f(x-△x)-f(x)-△x -△x -△x=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
∵f′（x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(x+△x)-f(x) |
| △x |
∴f′（-x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| f(x+△x)-f(x) |
| △x |
∴f′（-x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| f(x+△x)-f(x) |
| △x |
∴f′（-x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
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