如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，求证：（1）EF⊥A1C（2）平面AB1D1∥平面EFG．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，求证：

（1）EF⊥A₁C   
（2）平面A B₁D₁∥平面EFG．

Answer 1

（1）连结BD，
∵EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，
∵四边形ABCD为正方形，得BD⊥AC，∴EF⊥AC，
又∵正方体中，AA₁⊥面ABCD，EF⊂面ABCD，∴AA₁⊥EF，
∵AA₁、AC是平面AA₁C内的相交直线，
∴EF⊥平面AA₁C，
又∵A₁C⊂平面EFG，∴EF⊥A₁C．
（2）连结C₁D
∵△CC₁D中，F、G分别是CD、CC₁的中点，∴FG∥C₁D
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD

∥

.

B₁C₁，
∴四边形ADB₁C₁是平行四边形，可得AB₁∥C₁D
因此FG∥AB₁
∵FG⊄平面AB₁D₁，AB₁⊂平面AB₁D₁，∴FG∥平面AB₁D₁
同理可得EF∥平面AB₁D₁
∵FG、EF为平面EFG内的相交直线，∴平面A B₁D₁∥平面EFG．