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关于椭圆的参数方程问题.已知椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证:|OP|*|OQ|为定值.好的答案会追分!
题目详情
关于椭圆的参数方程问题.
已知椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证:|OP|*|OQ|为定值.
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已知椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证:|OP|*|OQ|为定值.
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答案和解析
设M点坐标(acost,bsint),点B1坐标(0,b),点B2坐标(0,-b)
直线MB1方程：y=[b(sint-1)/acost]x +b,令y=0解得Xp=acost/(1-sint)
直线MB2方程：y=[b(sint+1)/acost]x -b,令y=0解得Xq=acost/(1+sint)
|OP|*|OQ|=|XpXq|=acos²t/(1-sin²t)=a为定值
直线MB1方程：y=[b(sint-1)/acost]x +b,令y=0解得Xp=acost/(1-sint)
直线MB2方程：y=[b(sint+1)/acost]x -b,令y=0解得Xq=acost/(1+sint)
|OP|*|OQ|=|XpXq|=acos²t/(1-sin²t)=a为定值
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